В сибирском посёлке Ново-Алексеевском 8 марта 1908 года в семье железнодорожника родился Алексей Киреев. Его образование ограничилось семью классами. Трудовую деятельность начал на железной дороге в городе Мариинске, ныне Кемеровская область.
В 1929 году Киреев был призван в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии. Он принимал участие в конфликте на Китайско-Восточной железной дороге осенью 1929 года, где получил два ранения. В 1932 году окончил пограничную школу ОГПУ, после чего в 1933 году поступил в Борисоглебскую военно-авиационную школу лётчиков. Занимал должности: лётчика, старшего лётчика, командира звена.
В 1939 году перешел в ВВС РККА, проходил службу в качестве лётчика-инструктора в военной школе лётчиков.
Боевой опыт, полученный в железнодорожной войне 1929 года, пригодился Кирееву, когда началась Великая Отечественная. К тому времени он уже был старшим лейтенантом, командиром эскадрильи. С 6 февраля 1942 г. Летал на самолётах У-2, Р-5, И-4 (АНТ-5), Ил-2. Прошёл все ступени от командира звена до командира 809-го штурмового авиационного полка.
К 17 июля 1942 года командир 1-й эскадрильи 708-го авиационного полка старший лейтенант Киреев имел общий налёт около 2 000 часов, из них днём — 1800 часов и ночью — 200 часов, выполнил 96 боевых вылетов, из них 23 — ночью.
Первую награду Киреев получил на втором месяце участия в боевых вылетах – за спасение товарищей. Их бомбардировщик в тумане потерял ориентацию и из-за нехватки топлива был вынужден приземлиться глубоко в тылу врага. В сложных метеорологических условиях старший лейтенант Киреев сумел обнаружить самолёт и доставить экипажу топливо для возвращения домой. Бомбардировщик СБ благополучно вернулся на свой аэродром. За выполненное задания командования и 28 боевых вылетов в тыл противника с посадкой на партизанских аэродромах старший лейтенант Алексей Киреев 11 апреля 1942 года был представлен к первой своей награде — ордену Красного Знамени.
После вывода 708-го легкобомбардировочного авиационного полка в тыл и его расформирования, был направлен на переучивание на новый самолёт — Ил-2. Окончив переучивание назначен заместителем командира-штурмана, а затем штурманом штурмового авиационного полка.
В августе 1944 года возглавил 809-й штурмовой авиационный полк. К ноябрю 1944 года подполковник Киреев совершил 131 боевой вылет на бомбардировку и штурмовку живой силы и техники противника, из них 28 вылетов с посадкой во вражеском тылу. При этом уничтожил и повредил 16 танков, 41 автомашину, 6 минометных точек, 2 самолёта, 4 склада с боеприпасами, 10 укрепленных узлов и дзотов.
За личный отвагу и умелое полководческое искусство командиру 809-го штурмового авиационного Каменец-Подольского полка 264-й Киевской Краснознаменной штурмовой авиационной дивизии 5-го штурмового авиационного корпуса подполковнику Алексею Ивановичу Кирееву Указом Президиума Верховного Совета СССР 15 мая 1946 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6229).
Алексей Киреев участвовал в Курской битве, Белгородско-Харьковской, Киевской, Житомирско-Бердичевской, Корсунь-Шевченковской, Проскуровско-Черновицкой, Львовско-Сандомирской, Будапештской, Венской, Братиславско-Брновской и Пражской операциях.
Был награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, орденом Отечественной войны I степени, орденом Красной Звезды и медалями.
После войны продолжал службу в ВВС, командовал авиационным полком, в 1955 году ушёл в запас в звании полковника. Жил в городе Моршанск Тамбовской области. Скончался 4 марта 1957 года. Похоронен в городе Самара.