Борис Калинин родился в 1913 году в многодетной семье в деревне Петровка Ракшинского района (сегодня Моршанского округа). Окончив четыре класса сельской школы, 13-летним подростком уехал в Москву на заработки.
В столице Борис работал на стройках, не прекращая учёбу в вечерней школе. В 1937 году он устроился разнорабочим на молочный завод, а вскоре женился на Евдокии. Борис стал начальником цеха. В 1939 году у пары родилась дочь Галочка, а в 1941 году — сын Владимир. Но война в одночасье изменила их жизнь.
С августа 41-го Калинин служил в Красной Армии на западном фронте. С октября того же года он уже участвовал в боевых действиях. Его отвага и решительность не остались незамеченными. Бориса зачислили курсантом в 112-ю группу Подольского артиллерийского училища противотанковых орудий. Обучение длилось всего пять месяцев, и по его окончании Калинину присвоили звание младшего лейтенанта. Молодого офицера направили в 53-й полк 15-й гвардейской кавалерийской дивизии 7-го кавалерийского корпуса. Там он стал командиром 2-го огневого взвода противотанковой батареи.
В августе 1943 года войска Центрального фронта, в составе которых была и 15-я кавалерийская дивизия, получили задачу провести Черниговско-Припятскую наступательную операцию. Цель — освободить Чернигов, форсировать реки Десна, Смяч и Снов, выйти к Днепру. Кавалерийской дивизии поручили захватить железнодорожный мост через Снов у горы Щорс и удерживать его до подхода пехоты.
Передовые отряды дивизии вступили в бой за Кучиновку. Враг превратил село в укреплённый пункт, используя для обороны даже отдельные дома. Взвод 45-мм орудий под командованием младшего лейтенанта Калинина уничтожил самоходную установку «Фердинанд». Огневые точки и автоматчики в домах были расстреляны в упор. Взвод уничтожил до двух взводов пехоты, поддерживая продвижение кавалерии.
У села Смяч, за двадцать минут соорудив плоты, первый переправил через реку Снов свои орудия. Во время артобстрела два из них затонули, но солдаты, ныряя, зацепили их канатами и вытащили, продолжив катить на руках в боевых порядках эскадронов. Все они с открытых позиций прямой наводкой стреляли по врагу.
Младший лейтенант Калинин умело руководил боем. Его пушки не отставали от подразделений и метко били по противнику. За участие в боях с немецко-фашистскими захватчиками с 20 по 23 сентября 1943 года у населенных пунктов Кучиновка, Смяч и Дубровное, а также за проявленные смелость и находчивость в руководстве взводом младший лейтенант Борис Калинин был удостоен ордена «Красная Звезда».
После освобождения Чернигова готовилось наступление по правобережью Десны. Цель — выход на Днепр от устья Сожа до села Неданчичи Репкинского района. В Неданчичах, на переправе через реку, Николай заменил раненого командира и взял на себя обязанности начальника переправы. Трое суток он без сна и отдыха организовывал переправу подразделений и техники на правый берег, перевозил раненых. Именно здесь он стал Героем Советского Союза.
В окрестностях Неданчичей гвардии лейтенант Калинин, возглавляя 2-й огневой взвод батареи ПТО, одним из первых переправился через Днепр. Взвод вступил в бой за плацдарм, сорвал вражескую контратаку и содействовал успешному наступлению полка.
Противник потерял много живой силы и техники. А Калинин 4 октября 1943 года получил тяжёлое ранение и скончался через шесть дней в полевом госпитале. Его похоронили в селе Пилипча Репкинского района Черниговской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 декабря 1943 года за «образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство» гвардии младший лейтенант Борис Калинин посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
В деревне Петровка Екатериновского муниципалитета Моршанского округа на стеле павшим в годы Второй мировой войны размещена памятная доска в честь Героя Советского Союза Бориса Калинина.